最酷的數字是什麼?

數學是科學的靈魂,而科學又是技術的源頭,技術又是生產力增加、生活條件提升的必要條件。

最酷的數字是什麼?

直接回答就是自然常數 e,它的數值是2.71828,後面有很多無限位的數位。

大家最早接觸這個數字,應該是高中的時候學習對數,就是 log 運算的時候接觸到的,有的時候,log 直接就寫成 LN,LN 的底數默認就是這個自然常數。

那為什麼它最酷呢?

因為這個數反映了 n 多事物發展的內在規律。

想理解這種酷還是需要一些抽象思維能力的,我們一起先看一個簡單直觀的例子:

比如說你在銀行存了1塊錢,銀行給你非常高的利息,年利率是100%,這樣過一年存款就變成了2塊錢。

但是如果銀行非常慷慨,它可以半年付一次利息,那肯定比一年付一次賺得更多。那到底半年付一次利息能賺多少錢呢?是2塊2毛5。

你就覺得非常划算了,就要求銀行能不能按季度來付利息呢?如果這樣算出來就是2塊3毛7。

如果你要求更密集一些,按月來付利息,就是每月付年利息的1/12,那麼年底你能拿到2塊6毛1。

你這會兒就發現了,只要是要求支付利息的間隔越短,收益就越高。那你可能現在希望按天來支付利息,算出來就是2.714567元,又比2塊6毛1高了一點。

那麼我們推到極致,按秒來付利息,那這個收益會大到什麼程度呢?

其實如果無限切分,這樣最終的收益不是無限大的,而是無限趨近於一個數值,這個數值就是我們開頭說的自然常數 e,2.71828。

舉這個銀行理財的例子,就是因為大多數人對錢是很敏感的,但重要的是,這個大約2.71倍的收益率,背後的實質是增長的極限,它還可以出現在任何有裂變式增長的情境下。

比如像微生物的繁殖,細胞的分裂,就可以知道當增長率是100%的時候,像細胞一分二那樣,它在單位時間內,持續地翻倍增長所能達到的極限值是2.718倍。

可能你覺得這例子太特殊了,銀行怎麼能給你100%的年利率呢?一般年利率不就5%嗎?

其實它們的問題本質是一樣的,因為它還是按照之前的程度不變地增長。如果你高中數學過硬的話,你可以算一下利率從100%降到5%之後,增長的極限就是給 e 開一個20次方。所以,年利率5%的話,把支付利息的頻率提到上限,最多利息可以達到5.127%。

 

飛蛾撲火

我們再來看另外一個貌似是八竿子都打不著的實例,叫飛蛾撲火。

飛蛾為什麼撲火呢?

有些解釋說是為了愛情,那這種解釋不能出現在咱們的課里。有些解釋說是趨光性,蟲子就是愛往有光的地方飛,因為這裡有實物,這種解釋聽著就有點牽強。

實際上,蟲子的眼睛可以看到波長的範圍跟人是不一樣的,人覺得黑暗的地方,對昆蟲並不一定是黑暗的。飛蛾撲火的真正原因,是蟲子正在往正前方飛,就是這個原因。

具體是怎麼回事呢?

就是在漫長的進化中,夜晚活動的昆蟲要想飛直線,它只能藉助月光作參考,它要保證自己的運動方向跟光線一直保持穩定的角度,這個角度一直不變,它就一直能飛直線了。

但是,這有一個條件,就是這要求月亮離蟲子足夠遠,足夠遠的時候,月光撒向地球,每一縷月光跟每一縷月光都是互相平行的,但這種平行只是近似,蟲子只要跟光線保持固定的夾角飛,那它的飛行軌跡一定就是非常近似於一條直線。

如果你還想不明白的話,你可以把自己想像成置身在斑馬線上,只不過這個斑馬線是無限寬的,而你周圍又沒有任何可以參考的建築物,也沒有汽車。

那你怎麼來確定自己走的是直線呢?

你只要每次跨越斑馬線的橫線的時候,看看自己的行進方向跟斑馬線的夾角是不是跟之前一次跨越的時候這個夾角保持一致,如果是,你走的一定就是直線,如果不是,你肯定跑偏了。

這月光就像斑馬線,這蟲子就是你,蟲子就是這樣確定方向的。但是現在,燈光出現了,夜晚野外一盞燈,或者是火,那比月亮的光要亮得多。燈光周圍的蟲子在飛行的時候就會自然而然把那個最強的光源當作是指引它飛行方向的物體。

從前一直沒有人類活動,月光總是最亮的,但是現在人類出現了,燈光出現了,就干擾了蟲子的活動,這個時候一縷一縷的燈光對蟲子來說那可不是平行的了,因為月亮平行是因為月亮足夠遠,可是你想,燈光離得這麼近,每一縷燈光都是從一點發出來的,是輻射狀的。但是,蟲子的大腦不發達,它也不能調整進化留給它的本能,所以依然順著從前的飛行習慣保持跟每一縷光線相同的夾角,就這麼飛。這樣飛,最終的結果就是旋轉地一圈一圈進入了燈光的陷阱。

如果你還是想像不出來,你還是可以把自己想像成站在斑馬線上,只不過這次的斑馬線不是互相平行的,而是在比較遠的一端,比如說15米之外,所有的橫線都聚在一點上了,這個時候你再沿著跟每條線夾角一樣的路線走,你最終也會走出一個旋轉的線,最後會走到斑馬線的匯聚點上。

 

斐波那契螺旋線
在一個輻射狀的網格里,如果你保持固定的夾角畫延長線,最終的樣子就跟飛蛾撲火的路線是差不多的。

這樣的曲線,有一個特別的名字,叫做斐波那契螺旋線。


斐波那契螺旋線

 

你說這沒什麼重要的啊,蟲子飛行的規律很酷嗎?

那麼你可以再看下一張圖。


自然規律

 

這上圖裡,除了蟲子飛行之外,在其他的情景下,也展現出來斐波那契螺旋線了。

海螺的外殼,為什麼會長出一圈一圈那樣的螺旋線呢?

花瓣,或者向日葵的種子,為什麼它長出來的時候會呈現出那樣的形狀呢?

還有颱風中的雲層流動,也會出現颱風眼那樣的螺旋的形狀,還有水中的漩渦也會這樣,甚至DNA形成的雙螺旋,它螺旋的結構也會出現這種規律,甚至銀河系從俯視圖來看也呈現這個規律,這些都是自然生長規律。

 


葉片生長規律

 

葉片的生長,鈣化外殼的生長,DNA 的生長,雲層的生長,星際塵埃物質的生長,它們都保持著與輻射線等角度的前進方向,最終就形成了一種螺旋線的樣子,保持等比生長,這裡就包含著數字 e。

它們的區別只在於這個 e 的多少次方不同而已,或者具體來說,就是保持跟輻射線到底是呈60度角呢?還是61度角呢?還是65度角呢?但是這個規律本質上依然包含著自然常數 e。

 

自然界的底層規律
你可能會問,為什麼這裡面都包含 e?

那就是因為現實的自然世界中,絕對的平行是不存在的。

我們說的平行,只不過是為了方便。有的時候我們把局部特徵近似成平行,比如像蟲子頂著月光飛,它頂多也就飛了幾百公里,在這個尺度上月光是近似平行的。但是,如果蟲子飛行的距離是幾十萬公里的範圍,那它也會螺旋式地墜落到月球上。

只要我們把尺度放得足夠大,很多空間,很多場都是不絕對平行的,都會有發散的趨勢,所以這種螺旋狀的東西,在宇宙中,在地球上,在生命中,任何地方都有可能出現。

你看,一個沒有特殊單位的,只反映倍數的 e,小到 DNA 的螺旋,大到星系物質的分布,都能從中發現規律,所以才管這個 e 叫做自然常數,就是大自然。

也因為它確實反映了自然界的底層規律,e 這樣的數字比其他天生要和一種具體事物綁定的數字,比它們要酷多了。

比如像1英尺,那就是腳的長度,還有1米,1攝氏度,它們多少都跟人的身體,還有水的吸熱能力綁定在一起。

假設咱們現在有外星文明,那裡的環境跟地球環境迥異,說不定那裡是高溫高壓,然後重力場是地球的幾百倍。那麼在那兒用到的數字,就基本不太可能出現1英尺,1米,1攝氏度了。在那個地方的高智能生命,會根據它的生存條件,使用那裡更常出現的一些常數。

但是在那種截然不同的外星文明世界中,e 這個數字是一定會出現的。因為它不帶單位,不跟任何具體的事物綁定,它反映的是大自然的底層規律。

 

今日內容小結
其實這節課我們只是從具體的事物上尋找了 e,說明了它有多酷。儘管這些事物小到 DNA,大到星系,聽起來很玄,但是 e 這個常數更大的意義存在於純數學中。

這些意義簡單來說就是,它和自然數、分數、小數、有理數都不是一類,它是新的一類,所以這就涉及到一種新的數字類型,是一種新的集合。

另外,它連接了兩個傳統的具有悠久歷史的函數。從前,這兩個函數根本沒有交集,它們之間的關係就有點像1990年體育比賽跟電腦遊戲似的,兩個領域的東西一點關係都沒有,但就是因為網路出現了,兩個東西搭上界了,才出現了電子競技。

e 的出現連接了三角函數跟指數函數,更重要的是,如果 e 不精確地等於2.718那個數字,絕大部分積分變換就會失效,而現代信息技術的基礎就是從傅里葉變換,拉普拉斯變換,希爾伯特變換開始的,e 如果不等於那個數值,整個 IT 產業都不會存在了。

其實我這麼說,都低估了 e,如果你知道 e 背後反映的是所有事物進展的規律的話,那 e 的數值如果變了一絲一毫,其實應該是整個宇宙都將不復存在。知道這些,你就可以理解為什麼最酷的數字是 e 了。

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羅輯思維 2017-11-26/卓克

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